главная	астрономия	гидрометеорология	имена на карте	судомоделизм
навигация	устройство НК	памятники	морпесни	морпрактика
протокол	сокровищница	флаги	семафор	традиции
морвузы	мороружие	словарик	моравиация	кают-компания

Учебник по навигации

Глава 4

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ ДЛЯ ПОСТРОЕНИЯ МОРСКИХ НАВИГАЦИОННЫХ КАРТ

§ 27. Равноугольная цилиндрическая проекция Меркатора

Проекция, предложенная в 1569 г. голландским картографом Герардом Кремером, носившим, кроме того, латинское имя Меркатор, получила название проекции Меркатора. Эта проекция удовлетворяет двум основным требованиям, предъявляемым к проекциям для морских навигационных карт:
- она равноугольна;
- локсодромия на проекции изображается прямой линией.

Первое свойство проекции Меркатора — равноугольность выражается равенством масштабов по всем направлениям, т. е. а = b = m = n. Вследствие этого бесконечно малый кружок на поверхности Земли на карте в проекции Меркатора изобразится также бесконечно малым кружком.

Второе свойство определило вид географических меридианов и параллелей проекции: они представляют собой два семейства взаимно перпендикулярных прямых линий.
Нормальной картографической сеткой проекции Меркатора является сетка географических меридианов и параллелей, а нормальной системой сферических координат — географические координаты φ и λ.
Продифференцировав формулу (76) y =Сλ и подставив полученное значение dy в одну из формул (78) для цилиндрических проекций, получим

n = Cdλ / Ncosφdλ = C / Ncosφ - для эллипсоида и
n = Cdλ / Rcosφdλ = C / Rcosφ - для шара.

Для установления закона построения картографической сетки проекции Меркатора необходимо установить вид функции х = f(φ) в формулах (76).
Подставив значения m и n для эллипсоида из исходных формул (78) и приравняв их, можно написать

m = n = dx / Mdφ = C / Ncosφ

Из этого равенства имеем dx = C (M / N) * (dφ / cosφ).
Подставив значение радиусов кривизны М и N главных нормальных сечений земного эллипсоида из формул (6) и (7), получим

dx = C * {a * (1 - e²)(1 - e²sin² φ)½) / (1 - e²sin² φ)^3/2 *a} * dφ / cos φ,

откуда

dx = C * {(1-e²) / (1 - e²sin²φ)} * (dφ / cosφ)

Для интегрирования полученного выражения умножим в числителе e² на единицу, написав ее в виде sin²φ + cos²φ = 1, тогда

dx = C * {1 - (e²sin²φ + e²cos²φ) / (1 - e²sin²φ} * (dφ / cos φ} = C * {(1 - e²sin²φ - e²cos²) / (1 - e²sin²)} * dφ / cos φ = C * {(1 - e²sin²φ) / (1 - e²sin²φ) - (e²cos²φ) / (1 - e²sin²φ)} * (dφ / cos φ = C * (dφ / cos *φ) - C * {(e²cos²φ) / (1 - e²sin²φ) * dφ.

Сделаем подстановку, введя вспомогательную величину esinφ = sin ψ и ее дифференциал ecos φ dφ = cos ψdψ:

dx = C * (dφ / cosφ) - Ce{(cos ψ dψ)/(1 - sin²ψ)}.

Подставляя в последнее выражение 1 - sin²ψ = cos²ψ, получим

dx = C * {(dφ) / (cos φ)} - Ce{dψ) / (cos ψ)}.

Интегрирование последнего выражения дает:

x = C ln tg (45° + φ / 2) - Ce ln tg (45° + ψ /2).

Переписав полученное значение х в виде

x = C ln {tg(45° + φ / 2) / tg^e (45° + ψ / 2)}

и обозначив {tg(45° + φ / 2) / tg^e (45° + ψ / 2)} = U получим для х окончательное выражение

x = C ln U (80)

Таким образом, выявлен вид функции х = f (φ) для равноугольной цилиндрической проекции Меркатора.
Для завершения преобразований перейдем к аргументу φ, помня, что ранее была введена замена esin φ = sin ψ.

Так как

tg (45° + ψ / 2) = √ {(1 + sin ψ / (1 - sin ψ)} = √ {(1 + esinφ) / (1 - esin φ)},

то

tg^e (45° + ψ / 2) = {(1 + esin φ) / (1 - esin φ)}^e/2

Теперь полный вид искомой функции будет

x = C ln tg (45° + φ / 2){(1 - esin φ) / (1 + esin φ)}^e/2 (81)

Для определения значения постоянной С поставим дополнительное условие: пусть масштаб на экваторе равен единице: n_о = 1. Это условие определяет положение цилиндра, на который проектируется земной эллипсоид: он касается его по экватору и, следовательно, на экваторе масштаб (n_о) равен единице, а искажения отсутствуют. Положив, таким образом, по условию n_o = 1 и φ = 0, из выражения

m = n_o = 1 = C / Ncosφ 1 = C / N С=N. Но на экваторе N = а, следовательно, С=а.

Теперь найденная функция примет вид

x = a ln U (82)

Формула (82) определяет удаление параллели с широтой φ от экватора, выраженное в единицах длины, принятых для измерения большой полуоси земного эллипсоида а. Выведенная величина х измеряется вдоль меридиана, а потому ее принято называть меридиональной частью и обозначать буквой D. Если в уравнении (82) выразить а в экваториальных минутах, то формула меридиональной части примет вид:

D = a_{экв.мин} ln U (83)

Меридиональной частью (D) называется расстояние на проекции Меркатора по меридиану от экватора до данной параллели, выраженное в экваториальных минутах при масштабе на экваторе, равном единице. Значение и область применения меридиональных частей в картографии и в кораблевождении велики, так как в противоположность переменным численным значениям длины одной минуты меридиана земного эллипсоида меридиональные части выражаются в постоянных величинах, равных длине минуты экватора p_э применяемого эллипсоида. Для референц-эллипсоида Красовского р_э = а arc 1' = 1855,356 м. Постоянство единицы меридиональных частей представляет известное удобство при различных вычислениях.
В Картографических таблицах (1), а также в Мореходных таблицах МТ (табл. 26) приводятся меридиональные части для широт от 0 до 89°59'. В практике удобнее пользоваться формулой, где меридиональная часть выражена через экваториальные минуты и десятичные, а не натуральные логарифмы.
Поэтому с учетом того, что а = 1 / arc 1' = 3437,7468 и Моd= 0,434294, формулы (80) и (81) перепишем в следующем виде:

D = 7915',70447 lg tg (45° + φ / 2){(1 - esin φ) / (1 + esin φ)}; (84)
D = x = 7915',70447 lg U. (85)

Для Земли—шара (е=0, а=R) уравнения меридианов и параллелей в проекции Меркатора имеют вид

x = D = R ln tg (45° + φ / 2)
y = Rλ (86)

Таким образом, для равноугольной цилиндрической проекции Меркатора получены формулы:

Для сфероида: x = a ln tg (45° + φ / 2){(1 - esin φ) / (1 + esin φ)}e/2; y = aλ m = n = (a / N)sec φ ω = 0.

Для шара: x = R ln tg (45° + φ / 2); y = Rλ m = n = sec φ ω = 0.

При построении карты в проекции Меркатора всегда указывается параллель, к которой отнесен главный масштаб. Эта параллель называется главной параллелью. Главные параллели установлены для отдельных морей и океанов, их перечень приведен в Картографических таблицах.